대부분의 사람들이 ‘로그’에 대해 한 번쯤은 들어보았을 것이다. 로그함수는 지수함수의 역함수로 정의되며, y=a^x가 성립하면, x=log_a(y)라고 쓴다. 이 때, 식 x=log_a(y)에서 a는 밑, y는 진수라고 한다. 이러한 로그는 자연 과학을 설명하는데 다양하게 활용되며, 이 글에서는 로그가 활용되는 예와 로그의 특징들에 대해 논의해 보겠다.
먼저, 물리학의 경우 1/x의 적분을 계산해야 하는 경우가 많으며, 이 때, 1/x의 적분 결과는 ln x이다. (ln x는 밑이 자연상수 e인 로그이다.) 예를 들어, 직선 상에서 속력에 비례하는 저항력을 받으며 운동하는 물체의 운동 분석에서 뉴턴 운동 방정식을 쓰면, -kv=m*(dv/dt)이므로, 이 미분방정식에서 속력이 지수함수적으로 감소함을 알 수 있다. 이 때, 1/x의 부정적분이 ln x임을 활용하였다. 양자역학에서 조화 진동자의 바닥 상태 파동함수 계산에도 유사한 적분이 등장한다. RC 회로에서는 축전기에 저장된 전하량이 지수함수적으로 감소하므로, 관련 계산에서도 로그가 등장하게 된다.
또한, 화학의 경우 pH가 log 함수에 의해 정의된다. 용액 속 수소이온의 몰농도를 [H+]라 할 때, pH=-log[H+]로 정의된다. 이와 유사하게, pOH, pKa, pKb 등의 값도 정의되어 화학에서 자주 활용된다. 예를 들어, log의 성질을 활용하면 완충 용액의 pH를 계산할 때 활용하는 핸더슨-하셀바하 식을 증명할 수 있다. 어떤 산 HA가 물과 반응하여 하이드로늄 이온과 A-를 생성하는 반응을 생각하자. 이 반응의 평형 상수식은 Ka=[H3O+][A-]/[HA]로 주어지며, 이 값을 산의 이온화 상수라고 한다. 이 식의 양변에 log를 취하고, pH=-log[H3O+]임을 활용하면 pH=pKa+log([A-]/[HA]) 임을 얻는다. 즉, [A-]와 [HA]의 비율에 의해 용액의 pH가 결정된다. 이 때, A-와 HA가 혼합된 용액은 완충 용액(산 또는 염기의 첨가에 의한 pH 변화에 저항할 수 있는 용액)이 되며, [HA]=[A-]일 때 완충 용량이 최대가 된다. 뿐만 아니라, 화학 반응 속도론에서 1차 반응 적분 속도식을 계산할 때에도 log 함수가 필요하다. 1차 반응의 경우 반응 속도 v=k[A]=-d[A]/dt이며, 변수를 분리하여 양변을 적분하게 되면, 반응물의 농도 [A]가 지수함수적으로 감소함을 알 수 있다. 이 때, 1/x의 부정적분이 ln x 임을 활용해야 한다.(k는 속도 상수이다.)
천문학의 경우에는 별의 밝기와 등급 사이의 관계식을 구할 때 log 함수가 활용된다. 어떤 별 A에 비해 100배 밝은 별 B의 등급은 별 A에 비해 5 작다. 즉, 별 A가 별 B에 비해 x배 밝을 때, 별 A의 등급은 별 B의 등급에 비해 2.5log x만큼 작다. 또한, 지구에서의 관측 결과에 의해 정해진 등급을 겉보기 등급 m, 별의 실제 밝기에 의해 정해진 등급을 절대 등급 M으로 정의하며, 어떤 별의 겉보기 등급과 절대 등급을 알고 있는 경우, m-M=-5+5log r 식을 활용하여 지구에서 별까지의 거리 r을 계산할 수 있다.
마지막으로, 로그함수는 log(ab)=log(a)+log(b) 등 여러 가지 특징을 가지고 있다. 로그함수와 관련하여 극좌표계에서 r=r_0*exp(k*theta)로 주어지는 로그 나선을 생각해 보자. 로그 나선은 한 바퀴씩 돌 때마다, 원점으로부터의 거리가 일정한 비율로 증가하거나 감소한다. 정의에 의해 원점으로부터의 거리는 exp(2*pi*k)배 거리가 증가할 것이다. 또한, 로그 나선 위에 있는 임의의 점 P에 대해 원점과 점 P를 연결하는 선과 점 P에서의 접선은 항상 일정한 각을 이룬다는 특징도 있다.
지금까지 로그가 활용되는 예들을 논의하고, 이와 관련된 로그 나선에 대해 설명하였다. 어떤 주제를 학습할 때, 해당 주제가 활용되는 다양한 예시들을 생각해 보며 학습을 한다면, 이는 해당 주제를 이해하는데 큰 도움이 될 것이다.
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