우리는 어떤 주어진 문제를 해결할 때 다양한 방법을 시도해 본다. 특히, 문제를 해결할 때 기하학적 방법을 이용하면, 주어진 문제가 더 쉽게 해결되는 경우가 많다. 기하학적 방법을 통해 문제가 해결되는 경우들을 예를 들어 설명해 보겠다.
먼저, 어떤 식의 최대값 또는 최소값을 구하라는 문제에서 기하학적 방법을 활용할 수 있다. 예를 들어, 임의의 실수 x,y에 대해 sqrt((x-2)^2+y^2)+sqrt((x+2)^2+y^2) 의 최소값을 구하는 문제가 제시되었다고 하자.(이 때, sqrt(x)는 x의 제곱근을 의미한다.) 이 문제는 처음 보았을 때에는 어려워 보일 수 있지만, 사실 좌표 평면 상의 모든 점들에 대해 점 (2,0)까지의 거리와 점 (-2,0)까지의 거리의 합의 최소값을 구하는 문제와 동일하다. 이 문제의 답은 매우 쉽게 구할 수 있다. 점이 점 (2,0)과 점 (-2,0)을 잇는 선분 위에 있을 때 최소값을 가지며, 답은 4이다. 만약, 문제에서 조건을 추가하여 두 수 x,y가 항상 관계식 y=3-x를 만족한다고 하면, 답은 어떻게 변할까? 이 문제 또한 기하학적 방법을 생각하면 쉽게 해결할 수 있으면, 답은 점 (2,0)을 직선 y=3-x에 대칭시킨 점 (3,1)과 점 (-2,0)의 거리와 같다.
물론, 어떤 문제의 경우 주어진 문제를 기하학적 방법으로 해결하는 것이 거의 불가능한 것처럼 보이기도 한다. 하지만, 적지 않은 문제들은 기하학적 방법을 활용할 때 더 쉽게 해결된다. 예를 들어, 문제에서 세 실수 x,y,z가 관계식 z^2=x^2+y^2+xy를 만족한다는 조건이 주어졌다고 하자. 이 조건을 기하학적으로 해석할 수 있을까? 물론이다. 코사인 제 2법칙을 생각하면, x,y,z를 한 각의 크기가 120도인 삼각형의 세 변의 길이로 해석할 수 있다. 이와 같이 주어진 문제를 기하학적으로 해석해 보면 새롭고 쉬운 문제 해결 방법이 등장할 수 있다.
또한, 방정식의 해를 구하는 과정에서 기하학적 방법을 활용할 수 있다. 보통의 일차 방정식, 이차 방정식은 근의 공식 등을 이용해 매우 쉽게 해결할 수 있다. 하지만, 3차 이상의 방정식은 근의 공식을 통해 해결하기가 쉽지 않으며, 특히 5차 이상의 방정식에 대해서는 근의 공식이 존재하지 않는다. 그래서, 3차 이상의 방정식에 대해서는 보통 해의 근사값을 구하며, 근사값을 구하는 방법 중 한 가지로 그래프를 이용하는 방법이 있다. 즉, 방정식 f(x)=0의 해를 구할 때, 그래프 y=f(x)와 그래프 y=0의 교점의 x좌표를 찾는 방법이다. 이 방법은 초월 방정식의 풀이에도 유용하다. 예를 들어, exp(-x)=x-1 이라는 방정식의 해를 구해야 할 때, 이 방정식의 해를 대수적으로 구하는 것은 사실상 불가능하다. y=exp(-x)의 그래프와 y=x-1의 그래프의 교점의 x좌표를 찾아 해를 구하는 방법이 가장 쉬운 방법일 것이다.
실제로, 양자역학에서 유한 퍼텐셜 우물에 대한 해를 구할 때 이와 유사한 초월 방정식이 등장한다. 대부분의 미분 방정식은 일반해를 구하는 것이 쉽지 않으며, 이런 경우 적당한 경계 조건을 이용해 에너지 고유치 등을 구하는 방법을 이용한다. 보통 슈뢰딩거 방정식의 해를 구했을 때, 파동함수는 모든 점에서 연속이며, 파동함수의 미분값은 퍼텐셜이 무한대인 지점을 제외한 모든 점에서 연속이다. 디랙 델타 함수 퍼텐셜의 경우, 퍼텐셜이 무한대인 지점에서 파동함수 미분값이 얼마나 변하는지도 계산할 수 있다. 이 두 가지 조건을 적당히 연립하면 대부분의 경우 적당한 초월 방정식을 얻는다. 이 초월 방정식의 정확한 해를 구하는 것은 쉽지 않으며, 보통의 경우 어떤 계수가 0에 매우 가깝거나, 매우 큰 ‘극한’의 상황에서의 해를 그래프를 이용해 구하게 된다. 이 해를 통해 에너지 고유치 등을 계산할 수 있다.
지금까지 기하학적 방법이 문제 해결에 활용될 수 있는 다양한 예들을 설명하였다. 어떤 문제를 해결할 때, 대수적 방법, 기하학적 방법 등 다양한 방법을 활용해 문제를 해결해 본다면 문제 해결력을 더욱 향상시킬 수 있을 것이다.
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