우리는 문제를 해결할 때 다양한 방정식을 활용한다. 이런 방정식에는 다항 방정식, 함수 방정식 등이 있다. 방정식의 해를 구하는 방법이 1가지만 있는 것은 아니다. 특히, 문제에 주어진 추가 조건을 잘 활용하면 방정식의 해를 더 빠르게 구할 수도 있다. 방정식의 해를 구하는 다양한 방법을 논의해 보자.
먼저, 다항 방정식의 해는 어떻게 구할 수 있을까? 차수가 낮은 방정식부터 생각해 보자. 일차방정식은 ax+b=0(a는 0이 아니다.) 꼴로 주어지며, 이 식의 해는 x=-b/a임을 쉽게 확인할 수 있다. 이차방정식은 ax^2+bx+c=0(a는 0이 아니다.) 꼴로 주어지며, 이 식의 해는 근의 공식을 이용하거나, 인수분해를 이용하여 쉽게 구할 수 있다. 그렇다면, 삼차 이상의 방정식의 해는 어떻게 구할 수 있을까? 가장 간단한 방법은 인수분해를 이용하는 방법이다. 하지만, 주어진 방정식이 정수근을 갖지 않으면 인수분해를 이용해 방정식의 해를 구하는 것은 쉽지 않다. 다른 방법으로, 근의 공식을 이용할 수도 있다. 하지만, 삼차방정식과 사차방정식의 경우에만 방정식의 해를 구하는 근의 공식이 알려져 있을 뿐, 오차 이상의 방정식에 대해서는 일반적으로 해를 구할 수 있는 방법은 알려져 있지 않다. 그렇다면 고차방정식의 해는 어떻게 구할 수 있을까? 정확한 해를 구하는 방법은 알려져 있지 않지만, 해의 근사값을 추정할 수 있는 방법은 있다. 예를 들어 설명해 보겠다. 방정식 x^3-x^2+2*x-1=0의 해를 구해보자. f(x)=x^3-x^2+2*x-1이라 할 때, f(0)=-1, f(1)=1이므로, 0과 1 사이에 해가 존재함을 확인할 수 있다.(f(x)는 연속함수이기 때문이다.) f(0.5)=-0.125이므로, 이제 해는 0.5와 1 사이에 존재함을 확인할 수 있다. 같은 방법으로, f(0.75)=0.359375, f(0.625)=0.103516, f(0.5625)=-0.01343이므로, 해의 근사값은 약 0.6임을 확인할 수 있다. 이 과정을 반복하면, 더 정확한 근사값을 얻을 수 있다.
다음으로, 함수 방정식의 해는 어떻게 구할 수 있을까? 먼저, 코시 함수 방정식 f(x+y)=f(x)+f(y)의 해를 구해 보자. 이 방정식을 보면, 해가 f(x)=cx 꼴이라는 것을 추측할 수 있다. 함수 방정식의 해를 구할 때는, 이렇게 해를 미리 예측하는 것이 매우 중요하다. 이제, 해는 f(x)=cx가 유일하다는 것을 증명해야 한다. 사실, 실수 범위에서는 몇 가지 조건이 더 주어질 때만, f(x)=cx가 유일한 해가 된다. 지금은, 유리수 범위 내에서 해가 f(x)=cx가 유일하다는 것을 증명하겠다. 수학적 귀납법을 이용하면, 임의의 자연수 n에 대해 f(n)=n*f(1)임을 쉽게 증명할 수 있다. 다음으로, x와 y에 0을 대입하면 f(0)=0임을 확인할 수 있고, y에 -x를 대입하면, f(x)=-f(-x)임을 확인할 수 있다. 즉, 임의의 정수 m에 대해 f(m)=m*f(1)임이 증명되었다. 이제, 임의의 유리수 n/m을 생각하자.(m,n은 정수, m은 0이 아니다.) f(n)=f((n/m)*m)=m*f(n/m)이므로, f(n/m)=f(n)/m=(n/m)*f(1)에서, 임의의 유리수 x에 대해 f(x)=cx라는 것이 증명되었다. 사실 함수 방정식을 해결하는 방법에는 다양한 방법이 있다. 주어진 함수 방정식으로부터 함수가 전사함수 또는 단사함수라는 것을 증명하여, 이를 방정식의 해를 구하는 과정에 활용할 수도 있고, f(x)=x인 부동점을 방정식의 해를 구하는 과정에 활용할 수도 있다.
지금까지 다항방정식과 함수방정식을 해결하는 다양한 방법에 대해 논의해 보았다. 이런 방정식들을 다양한 방법으로 해결하려고 노력한다면, 방정식의 해를 더 빠르게 구할 수 있게 될 것이다.
HOME > 
