‘기하학’. 기하학은 영어로 Geometry라고 하며, 수학의 여러 분야 중 ‘도형의 성질’을 다루는 분야이다. 보통 초등 기하에서는 피타고라스 정리, 삼각형의 오심(외심, 내심, 무게중심, 수심, 방심), 원에 내접하는 사각형의 성질, Isogonal line, antiparallel 등의 개념이 다루어진다. 그런데, 이와 같은 개념들을 학습하는 이유는 무엇일까? 바로, 이런 기하학의 개념들이 다양한 문제 해결에 응용되기 때문이다. 이 글에서는, 기하학이 문제 해결에 응용되는 예들을 기술해 보겠다.
먼저, 물리학에서 매우 유명한 ‘강물 건너기’ 문제가 있다. 강물의 속력을 v, 배의 속력을 u, 배가 건너야 하는 수직 거리를 d라 할 때, 배가 강을 건너는 데 필요한 최소 시간과, 최소 이동 거리를 구하는 문제이다. 먼저, u>v일 때는, 배가 직선 경로를 따라 강을 건너게 하는 것이 가능하므로, 최소 이동 거리는 d이다. 또한, 처음에 뱃머리가 가리키는 방향이 강물의 흐름과 수직이 되도록 하고 출발하면, 강을 건너는 데 필요한 시간은 d/v로 최소가 된다. v>u일 때에도, 강을 건너는 데 필요한 최소 시간은 d/v이다. 하지만, 최소 이동 거리는 u>v인 경우와 다르다. v>u인 경우, 배가 직선 경로를 따라 강을 건너게 하는 것이 불가능하므로, 반지름 u인 원을 그리고, 원의 중심에서 v만큼 떨어진 지점에서 원에 접선을 그었을 때, 접선의 방향으로 배가 이동하게 하는 경우에 최소 이동 거리가 구해진다. 삼각형의 닮음을 이용하면, 최소 이동 거리는 d*v/u 임을 계산할 수 있다.
다음으로, 지진이 일어났을 때, 3개의 관측소에서의 진원 거리가 주어졌을 때, 진앙의 위치와 진원의 깊이를 결정하는 문제이다. 답을 먼저 말하면, 3개의 관측소에서 각각 진원 거리를 반지름으로 하는 원을 그리고, 3개의 공통현의 교점을 찾는다. 이 점 A가 진앙의 위치이다. 이 때, 3개의 공통현이 반드시 한 점에서 만난다는 것은 수학적으로 증명이 되어 있다. 그리고, 한 관측소 O에 대해, 선분 OA에 수직인 원 O의 현의 길이의 1/2가 진원의 깊이이다.
마지막으로, 다음과 같은 물리 문제가 있다. 초기에 두 물체 A, B가 500m 떨어져 있다. 물체 A는 동쪽으로 40m/s, 물체 B는 북쪽으로 30m/s의 속력으로 움직인다고 하자. 시간 t초 후에 물체 A와 B의 거리를 d(t)라 할 떄, d(t)의 최소값은 얼마인지 구하는 문제이다. 이 문제의 풀이 방법에는 크게 2가지가 있다. 첫 번째 방법은 대수적 방법이다. 즉, 시간 t초 후에 물체 A와 B가 이동한 거리를 계산한 후, 물체 A와 B의 거리를 피타고라스의 정리를 이용하여 계산한 다음, 이차함수의 최소값을 구하는 방법을 이용해 d(t)의 최소값을 구하는 방법이다. 하지만, 기하학적 방법을 이용하면 문제를 더 쉽게 해결할 수 있다. 이 방법은 ‘상대 속도’의 개념을 이용하는 방법이다. 물체 A가 보았을 때, 물체 B는 북서쪽으로 50m/s의 속력으로 직선 운동하는 것처럼 보인다. 이 때, 점 P와 직선 l 사이의 최소 거리는, 점 P에서 직선 l에 내린 수선의 발을 H라 할 때, PH의 길이이므로, 삼각형의 닮음을 이용해서 답을 계산할 수 있게 된다.
지금까지 기하학이 문제 해결에 응용되는 예들을 설명해 보았다. 많은 경우, 대수적 방법을 이용하는 것보다 기하학적 방법을 이용하면 문제를 더 쉽게 해결할 수 있게 된다. 어떤 문제를 해결할 때, 문제를 해결할 수 있는 기하학적 방법이 없을지 고민해 보고, 대수적 방법으로 해결했더라도, 문제를 해결하는 또 다른 방법은 없을지 고민해 본다면, 문제 해결 능력을 더 키울 수 있을 것이다.
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