‘미적분’을 학습하는 이유가 무엇일까? ‘미적분’은 최대/최소를 구하는 문제 등 다양한 문제를 해결하는데 활용될 수 있다. 특히, ‘미적분’은 물리 현상들을 기술할 때에도 활용된다. 물리 현상들을 기술하는 대부분의 방정식은 미분 방정식이므로, 물리 현상들을 정확히 이해하기 위해서는 미분 방정식에 대한 이해가 필수적일 것이다. 이 글에서는, 물리 현상들을 기술하는 미분 방정식의 예와, 간단한 미분 방정식을 풀이하는 방법들을 정리해 보겠다.
먼저, ‘F=ma'가 물리 현상을 기술하는 가장 대표적인 미분 방정식이다. 간단한 경우, 즉, 가속도가 일정한 경우, 이 식은 미분 방정식이 아닌 것처럼 보인다. 하지만, 가속도는 시간의 변화율이므로, 이 식은 속도, 또는 시간에 대한 미분 방정식이다. 예를 들어, 물체에 속도의 크기에 비례하는 저항력 -bv가 작용한다고 하면, 뉴턴 운동 방정식은 -bv=m(dv/dt)가 되므로, 이 미분 방정식을 풀어서 속도를 시간에 대한 함수로 구할 수 있다. 이 미분 방정식은 어떻게 해결할 수 있을까? 변수 분리법을 이용하면 된다. 주어진 방정식에 변수가 v,t 2개이므로, 좌변에는 t와 관련된 식만 쓰고, 우변에는 v와 관련된 식만 쓴 후, 적분을 이용하면 속도를 시간의 함수로 구할 수 있다. t=0일 때, v=v_0라 하자. 이 방정식을 정리하면, -(b/m)dt= (dv/v)가 되므로, 이 식을 적분하면, v=v_0 exp(-bt/m)을 얻을 수 있다.
또한, 단진동의 운동을 기술하는 방정식 ‘ma=-mw^2x'도 대표적인 미분 방정식이다. 물론, 이 방정식도 ’F=ma'로부터 유도된다. 이 방정식에서, a는 위치를 시간으로 2번 미분한 것이므로, 이 식은 d^2 x/dt^2 = -w^2 x가 된다.(w는 단진동의 각속도이다.) 이 식의 해 x는 일반적으로 Acoswt+Bsinwt 꼴로 주어진다. 초기 조건을 대입하여 상수 A,B 값을 결정하면, x를 t에 대한 함수로 구할 수 있다. 만약 미분 방정식이 d^2 x/dt^2 = w^2 x이면, 이 식의 해는 일반적으로 x=Aexp(wt)+Bexp(-wt) 또는 x=Acosh(wt)+Bsinh(wt)로 주어진다. 이제, 단진동하는 물체가 속도에 비례하는 감쇠력 -bv를 받는다고 하자. 그러면, 미분 방정식은 ddot(x)+a dot(x) +b=0 꼴이 된다. 이 때, ddot(x)는 x를 시간에 대해 2번 미분한 것, dot(x)는 x를 시간에 대해 1번 미분한 것을 의미한다. 이 방정식의 해를 구하기 위해서는, x=Aexp(iwt) 꼴의 해를 가정하고, 이 해를 미분 방정식에 대입하여 상수 A,w를 결정하면 된다. 이 때, a,b의 값에 따라, w가 허수가 나올 수도 있다.
또 다른 예로, 책상 위에 있는 길이 a인 줄이, 책상 끝에서 중력에 의해 떨어지기 시작할 때, 책상 위에 있는 줄의 길이가 0이 되었을 때, 줄의 속력이 얼마인지 구하는 문제를 미분 방정식으로 해결할 수 있다. 이런 미분 방정식을 해결할 때에는 다양한 방법이 이용되는데, 앞에서 변수 분리법, exp(wt) 꼴의 해를 가정하여 문제를 해결하는 방법 등을 설명하였다. 이 외에, 대표적인 미분 방정식 해결 방법으로 급수해를 이용하는 방법이 있다. 예를 들어, v를 x에 대한 함수로 구해야 하는 문제를 생각하자. 그러면, v=a_0+a_1*x+a_2*x^2+ --- 꼴로 쓴 후, 이 식을 미분 방정식에 대입한다. 그리고, 미분방정식의 양변의 x의 계수들을 비교하여, 상수 a_0,a_1,a_2 등을 결정하면 된다. 그러면, v를 x에 대한 함수로 구할 수 있다. 경우에 따라서는, v를 x에 대해 전개할 때, 상수항부터 시작되지 않을 수도 있다. 즉, v=a_2*x^2+a_3*x^3+ --- 꼴로 써야 할 수도 있고, v=a_(-2)*x^(-2)+a_(-1)+x^(-1)+--- 꼴로 써야 할 수도 있다. 또한, v^2을 x에 대해 전개하여 문제를 해결하는 것이 편리한 경우도 있다. 따라서, 많은 연습을 통해, 어떤 미분 방정식이 주어졌을 때, 그 미분 방정식을 해결하는 가장 편리한 방법을 빠르게 찾을 수 있도록 노력해야 한다.
전자기학에서도 다양한 미분 방정식이 등장한다. 전자기학에서는, 가우스 법칙, 패러데이 법칙, 자기장에 관한 가우스 법칙, 앙페르 법칙의 ‘맥스웰 방정식’ 4개가 유명한데, 이 방정식들은 모두 미분 방정식이다. 맥스웰 방정식은 스토크스 정리, Divergence Theorem을 이용하면 적분형으로도 쓸 수 있다. 특히, 정전기학에서, 전하 밀도가 0인 경우, 라플라스 방정식 ‘Laplacian(V)=0’을 얻는데, 이 방정식은 변수 분리법을 이용해서 해결할 수 있다. 양자역학의 기본 방정식 ‘슈뢰딩거 방정식’도 미분 방정식이다. 무한히 깊은 퍼텐셜 우물, 조화 진동자 등 퍼텐셜 함수가 간단한 함수로 주어지는 경우에서는 슈뢰딩거 방정식을 어렵지 않게 해결할 수 있다. 특히, 슈뢰딩거 방정식의 해를 구면 좌표계에서 해결하는 과정에서, 다양한 특수 함수들이 정의된다. 파동 방정식 d^2 f/ dx^2 =(1/v^2) d^2 f/dt^2 도 대표적인 미분 방정식이다.
지금까지 설명한 것처럼, 물리 현상을 기술할 때 다양한 미분 방정식이 이용된다. 앞에서 미분 방정식의 해법들 몇 가지를 간단히 소개하였지만, 모든 미분 방정식이 간단한 해법들만으로 해결되지는 않는다. 앞에서, 슈뢰딩거 방정식의 해를 구면 좌표계에서 해결하는 과정에서 다양한 특수 함수들이 등장했는데, 바로 이 ‘특수 함수’들이 미분 방정식의 ‘해’에 해당된다. 즉, 미분 방정식의 해가 간단한 방법으로는 구해지지 않아서, 새로운 특수 함수들을 정의한 것이다. 하지만, 어떤 물리 현상을 미분 방정식으로 기술하려고 노력해 보고, 이 미분 방정식의 해를 구하려는 노력을 계속한다면, 그 물리 현상을 충분히 이해할 수 있을 것이다.
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