많은 사람들이, 뉴턴이 발견한 만유인력 법칙에 대해 알고 있을 것이다. 만유인력 법칙은, 질량을 가진 임의의 두 물체 사이에는 인력이 작용하며, 인력의 크기는 두 물체의 질량의 곱에 비례하고, 두 물체 사이의 거리의 제곱에 반비례한다는 것이다. 그런데, 이 법칙의 내용만 들었을 때에는, 이 법칙을 어떻게 문제 해결에 활용할 수 있는지 알기 어렵다. 이 글에서는 뉴턴이 발견한 만유인력 법칙을 문제 해결에 어떻게 활용할 수 있는지에 대해 자세히 설명해 보겠다.
우선, 만유인력 법칙을 문제 해결에 활용하기 위해 필요한 기본적인 이론들을 설명해 보겠다. 먼저, 질량 m, 속도 v인 어떤 물체의 운동 에너지는 (1/2)*m*(v^2)으로 주어진다. 다음으로, 질량 M인 물체에 의해 중력장이 형성되어 있을 때, 질량 m인 물체의 위치 에너지를 계산해 보자. 무한 원점에서 물체의 위치 에너지를 0이라고 할 때, 만유인력은 보존력이므로, 물체의 위치 에너지는 힘을 거리에 대해 적분함으로써 얻을 수 있다. 적분을 계산해 보면, 질량 m인 물체의 만유인력에 의한 위치 에너지는 (-GMm/r)임을 알 수 있다. 이 때, G는 만유인력 상수, r은 질량 M인 물체와 질량 m인 물체 사이의 거리이다. 마지막으로, 원운동을 하는 물체에 작용하는 구심력은 (m*(v^2)/r), 또는 (m*r*(w^2))으로 계산된다. 이 때, v는 원운동하는 물체의 속력, m은 원운동하는 물체의 질량, r은 원 궤도의 반지름, w는 원운동하는 물체의 각속도이다.
이제, 만유인력 법칙을 문제 해결에 어떻게 활용할 수 있는지에 대해 설명해 보겠다. 먼저, 지구 중심을 중심으로 하고, 원 궤도를 따라 움직이는 정지 위성을 발사시키기 위해 필요한 에너지를 계산할 수 있다. 인공 위성이 원 궤도를 따라 움직인다는 것은, 인공 위성에 작용하는 만유인력이 원운동에서 구심력 역할을 하고 있다는 것을 의미한다. 따라서, 지구의 질량을 M, 인공 위성의 질량을 m이라 할 때, (GMm/(R^2))=(m*R*(w^2))이라는 식을 세울 수 있다. 이 때, w=(2*pi/T)이며, 정지 위성이므로, 원운동의 주기 T는 지구의 자전 주기와 같아야 한다. 그러므로, 이 식으로부터, 원 궤도의 반지름 R을 계산할 수 있다. 그러면, (GMm/(R^2))=(m*(v^2)/R)에서, 인공 위성의 운동 에너지를 계산할 수 있고, 만유인력에 의한 위치 에너지 공식을 이용하여 인공 위성의 위치 에너지를 계산할 수 있다. 원 궤도를 따라 움직이는 정지 위성을 발사시키기 위해 필요한 에너지는, 원 궤도를 따라 움직이는 인공 위성의 운동 에너지와 위치 에너지의 합이므로, 문제가 해결되었다.
또한, 지구의 중력장에서 로켓을 탈출시키기 위해 필요한 최소 속력을 계산할 수 있다. 이를 위해, 로켓이 지구의 중력장을 탈출하여, 무한 원점에서 속력이 0이 되는 경우 로켓의 초기 속력을 계산하면 된다. 에너지 보존 법칙을 이용하면 (1/2)m*(v^2)-(GMm/R)=0에서 지구의 중력장에서 로켓을 탈출시키기 위해 필요한 최소 속력은 v=sqrt(2GM/R)임을 알 수 있다.(이 때, m은 로켓의 질량, M은 지구의 질량, R은 지구의 반지름이다.)
마지막으로, 지구 중심을 지나는 터널을 지구 내부에 뚫은 경우를 가정하고, 물체를 터널의 한 쪽 끝에 놓았을 때 물체는 단진동을 하게 되는데, 이 단진동의 주기를 계산할 수 있다. 이를 위해, 물체에 작용하는 힘이 지구의 중심을 향하며, 힘의 크기가 지구 중심으로부터의 거리에 비례한다는 것을 보인 후, 이 때의 비례 상수 k와 물체의 질량 m에 대해 단진동의 주기 T는 (2*pi*sqrt(m/k))으로 계산할 수 있다. 그리고, 지구의 반지름을 R이라 하고, 물체가 지구 중심으로부터 거리 r만큼 떨어진 곳에 있을 때, 지구 중심으로부터 거리가 r 이하인 곳에 있는 질량들에 의해서만 물체가 힘을 받는다고 생각해도 된다. 그러면 F=-G(M)((r/R)^3)m/(r^2)에서 F=-(GMm/(R^3))*r임을 얻는다. 즉, 단진동의 주기 T가 2*pi*sqrt((R^3)/GM)으로 계산된다는 것을 알 수 있다.
지금까지 만유인력 법칙을 문제 해결에 어떻게 활용할 수 있는지에 대해 설명하였다. 앞으로 물리 이론들을 학습할 때, 학습한 물리 이론들을 문제 해결에 어떻게 활용할 수 있을지 생각하며 이론들을 학습한다면, 학습한 물리 이론에 대한 이해도를 더 높일 수 있을 것이다.
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