일반적인 물체의 운동은 어떻게 분석할 수 있을까? 여러 가지 방법이 있지만, 가장 기본적인 방법은 뉴턴의 운동 법칙을 이용하는 것이다. 뉴턴의 운동 법칙 외에도 라그랑주 방정식 등을 이용해 분석하는 방법도 있고, 이론적인 방법 외에도 종이 테이프에 찍힌 타점 분석을 통해 물체의 운동을 분석할 수도 있다. 이 글에서는, 일반적인 물체의 운동을 분석하는 여러 가지 방법에 대해 논의해 보겠다.
먼저, 뉴턴의 운동 법칙을 이용해 물체의 운동을 분석하는 방법이 있다. 뉴턴의 운동 제1법칙은 관성의 법칙으로, 정지해 있는 물체는 계속 정지해 있으려 하고, 운동하고 있는 물체는 계속 운동하려고 한다는 것이다. 뉴턴의 운동 제2법칙은 가속도의 법칙으로, 힘을 받으면 물체는 운동을 한다는 것이다. 식으로는 F=ma라고 쓸 수 있다. 뉴턴의 운동 제3법칙은 작용/반작용의 법칙으로, B가 A에 의해 힘을 받고 있으면, A도 B에 의해 힘을 받으며, 두 힘의 크기는 같지만 방향은 반대라는 것이다. 물체의 운동을 정량적으로 분석할 때에는, 뉴턴의 운동 제2법칙이 가장 많이 이용된다. 예를 들어, 정지해 있던 질량 2kg인 물체가 4N의 힘을 받게 되면, F=ma에서, 이 물체의 가속도가 2m/s^2이라는 것을 얻을 수 있으며, 따라서 2초 후, 이 물체의 속도는 4m/s일 것이라는 것을 예측할 수 있다.
또한, 라그랑주 방정식을 이용해 물체의 운동을 분석하는 방법이 있다. 대부분의 간단한 물체의 운동들은 뉴턴의 운동 법칙을 이용해 이론적으로 분석할 수 있다. 하지만, 운동하는 물체의 수가 많아지면, 고려해야 할 조건들이 많아져 뉴턴의 운동 법칙으로는 해결하기 어려워질 수 있다. 이 때, 문제를 쉽게 해결할 수 있는 방법이, 라그랑주 방정식을 이용하는 방법이다. 라그랑주 방정식은, 해밀턴의 변분 원리로부터 유도되며, 미분형으로 표현된다. 라그랑주 방정식은 라그랑지안(L)이라는 변수로 표현되는데, 라그랑지안은 어떤 계의 운동 에너지에서 위치 에너지의 값을 뺀 값이다. 즉, ‘에너지’를 이용해 물체의 운동을 분석하게 되는데, 이것이 뉴턴의 운동 법칙과의 차이점이다. 뉴턴의 운동 제2법칙을 보면, 가속도(a)가 식에 포함되어 있는데, 이것은 물체의 시간에 따른 속력 변화를 측정하여 계산할 수 있다. 하지만, ‘에너지’는 측정할 수 있는 것이 아니다. ‘에너지’는 일을 할 수 있는 능력이기 때문에, 측정할 수 없는 물리량이다. 즉, 뉴턴의 운동 법칙과 라그랑주의 방정식의 의미는 동일하지만, 그 내용을 표현하는 방식이 다를 뿐인 것이다.
그리고, 라그랑주 방정식은 일반화 좌표로 표현되어 있다. 대부분의 문제의 경우, 직각 좌표계를 이용하여 문제를 해결하게 된다. 하지만, 물체가 구면 위에서 운동하는 경우에는 구 좌표계를 이용하기도 하며, 경우에 따라서 원통 좌표계를 이용하기도 한다. 이 좌표계들을 좀 더 일반화시킨 좌표가 일반화 좌표이다. 일반화 좌표가 되기 위한 조건은, 각 좌표가 독립적이어야 한다는 것이다. 예를 들어, 공유 결합을 하고 있는 수소 분자를 생각해 보면, 두 수소 원자의 위치는 독립적이지 않다. 공유 결합의 길이가 변하지 않는다고 가정하면, 두 수소 원자의 거리는 수소 분자가 어떤 위치에 있더라도, 공유 결합의 길이와 같아야 할 것이기 때문이다. 즉, 주어진 문제를 해결하기에 편리한 일반화 좌표를 선택하고, 라그랑주 방정식을 이용하면, 여러 가지 조건들을 고려할 필요 없이, 해석적으로만 문제를 해결할 수 있다.
마지막으로, 타점 분석을 통해 물체의 운동을 분석할 수 있다. 시간 기록계를 이용해 타점을 찍은 후 타점 사이의 거리를 측정해 시간에 따른 속력 변화를 계산하면 된다. 예를 들어, 시간 기록계의 진동수가 60Hz인 경우, 이는 인접한 두 타점 사이의 시간 간격이 1/60초라는 것을 의미한다. 즉, 인접한 두 타점 사이의 거리가 1cm라면, 1/60초 동안의 평균 속력은 1cm/(1/60초)=60cm/s인 것이다.
지금까지 일반적인 물체의 운동을 분석하는 여러 가지 방법에 대해 논의해 보았다. 여러 가지 방법으로 어떤 물체의 운동을 분석하려고 노력하다 보면, 문제 상황에 따라서 어떤 방법을 사용했을 때 물체의 운동을 더 쉽게 분석할 수 있는지 알게 될 것이다.
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