| 부등식이란 무엇일까? |
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 백도원 | 천안성정중학교 3학년 |
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부등식이란 무엇일까? 기본적인 부등식의 정의는, ‘<’, ‘>’ 등의 부등식을 이용해 나타낸 식이다. 그리고, 부등식은, 실생활 속 문제 해결에 많이 이용되는데, 그런 문제 해결에는 대부분 부등식의 ‘기본적인 성질’을 이용한다. 이 때, 부등식의 ‘기본 성질’이란, 부등식의 양변에 같은 수를 더하거나 빼도 부등호의 방향이 바뀌지 않으며, 부등식의 양변에 양의 실수를 곱하거나 양변을 양의 실수로 나누어도 부등호의 방향이 바뀌지 않는다는 것이다. 하지만, 어떤 문제 해결을 할 때에는, 단순히 부등식의 ‘기본 성질’을 이용하는 것이 아니라, 산술-기하 평균 부등식, 재배열 부등식, 코시-슈바르츠 부등식 등을 이용하기도 한다. 이 글에서는, 여러 가지 부등식의 종류와 그 의미에 대해 설명해 보겠다.
먼저, 산술-기하 평균 부등식은, 간단히 말하면 n개의 양수들이 있을 때, 이 n개의 수들의 산술 평균이 n개의 수들의 기하 평균보다 크거나 같다는 것이다. 산술 평균은 보통 ‘평균’이라고 말하는 것으로, 모든 수들을 합한 후, 그 수를 전체 수의 개수로 나눈 값을 의미한다. 기하 평균은 n개의 양수들을 모두 곱한 값의 n제곱근을 의미한다. 예를 들어, 세 개의 수 3,3,81의 산술 평균은 (3+3+81)/3=29이고, 기하 평균은 세제곱근(3*3*81)=9이다. 그리고, 산술 평균과 기하 평균이 같기 위한 필요 충분조건은, n개의 양수들의 값이 모두 같은 것이다. 특히, n=2인 경우의 산술-기하 평균 부등식을 생각해 보자. 그러면, (a+b)/2>=sqrt(ab)가 된다. 이제, 다음과 같은 문제를 생각해 보자. ‘둘레가 lcm인 직사각형이 있다. 이 직사각형의 넓이의 최대값은 얼마인가?’ 이 문제는 가로의 길이가 a, 세로의 길이가 b인 직사각형에서, (a+b)의 값이 l/2로 일정할 때, ab의 최대값을 구하는 문제이다. 이 때, 산술 기하 평균 부등식에 의해, (a+b)의 값이 일정할 때, ab는 a=b일 때 최대값 ((a+b)/2)^2을 갖는다. 따라서, 앞의 문제에서, a+b=l/2이므로, 넓이의 최대값은 a=b=(l/4)일 때, (l/4)^2이다.
다음으로, 재배열 부등식은 어떤 두 개의 수열 a_{n}과 b_{n}에 대해서, 임의의 순서로 두 수열의 수들을 나열한 후, a(i)*b(i)의 값들을 계산해서 합한 것은, a_{n}과 b_{n}이 같은 순서로 정렬되어 있을 때 최대이고, a_{n}과 b_{n}이 반대 순서로 정렬되어 있을 때 최소라는 것이다. 다음과 같은 문제를 생각해 보면, 이 부등식의 의미를 쉽게 이해할 수 있다. ‘500원, 100원, 50원의 세 종류의 동전이 충분히 있다. 세 동전 중 하나는 4개, 하나는 2개, 하나는 1개를 선택한다고 할 때, 선택하여 만들 수 있는 전체 금액의 최대값과 최소값은 얼마인가?’ 이 문제의 답을 계산하는 것은 어렵지 않다. 금액이 큰 동전을 많이 선택할수록 전체 금액이 더 커질 것이고, 금액이 큰 동전을 적게 선택할수록 전체 금액이 더 작아질 것이기 때문에, 전체 금액의 최대값은 500*4+100*2+50*1=2250(원)이고, 전체 금액의 최소값은 500*1+100*2+50*4=900(원)이다. 이 결과를 재배열 부등식으로 설명하면 다음과 같다. 두 수열이 각각 (500,100,50), (4,2,1)로 정렬되어 있으면, 두 수열이 같은 순서로 정렬되어 있기 때문에, a(i)*b(i)의 값들을 계산해서 합한 것(이 문제에서는 a(i)*b(i)가 전체 금액의 수를 의미한다.)이 최대값을 가지고, 두 수열이 각각 (500,100,50), (1,2,4)로 정렬되어 있으면, 두 수열이 반대 순서로 정렬되어 있기 때문에(하나는 오름차순, 다른 하나는 내림차순) a(i)*b(i)의 값들을 계산해서 합한 것이 최소값을 가지는 것이다.
다음으로, 코시-슈바르츠 부등식을 설명해 보겠다. 코시-슈바르츠 부등식은, 2n개의 실수 a(1),a(2), ---,a(n),b(1),b(2), ---,b(n)에 대해, (a(1)^2+a(2)^2+ --- +a(n)^2)*(b(1)^2+b(2)^2+ --- + b(n)^2)>=(a(1)b(1)+a(2)b(2)+ --- + a(n)b(n))^2이 성립한다는 것이다. 등호는 1 이상 n 이하의 모든 자연수 I에 대해 a(i)/b(i) 값이 같을 때 성립한다. 간단한 문제를 통해 이 부등식을 활용해 보겠다. 세 실수 x,y,z에 대해 x+y+z=3일 때, x^2+y^2+z^2의 최소값을 구해 보자. 코시-슈바르츠 부등식에 의해, (1+1+1)(x^2+y^2+z^2)>=(x+y+z)^2이므로, x^2+y^2+z^2의 최소값은 3이다. 물론, 코시-슈바르츠 부등식을 이용하지 않고도, 이 문제를 해결할 수 있다. 한 가지 가능한 방법은, x+y+z=3이므로, z=3-x-y라 하고, 이 z의 값을 식 x^2+y^2+z^2에 대입하여 정리한다. 그리고, 이 식의 값을 k라 하면, x(또는 y)에 대한 이차방정식이 만들어진다. 이 방정식이 실근을 가질 조건을 이용하면, k의 최소값을 계산할 수 있을 것이다.
지금까지 부등식의 종류와, 각 부등식의 의미에 대해 정리해 보았다. 이런 부등식들은, 문제 해결에 있어서 많은 도움이 되므로, 부등식들과, 각 부등식의 의미를 정리해 놓는 것은 문제 해결에 있어서 큰 도움이 될 것이다. 하지만, 최대값 또는 최소값을 구하라는 문제를, 항상 ‘부등식’만을 이용해서 풀 수 있는 것이 아니라는 것을 반드시 기억해야 한다. 이차 방정식의 판별식을 이용할 수도 있고, 미분을 이용할 수도 있으며, 함수의 그래프를 이용해서 어떤 식의 최대값 또는 최소값을 구할 수도 있다. 최대값 또는 최소값을 구하는 문제를 여러 가지 방법으로 해결할 수 있다는 것을 기억하면서, 부등식들도 잘 정리해 놓는다면, 최대값/최소값을 구하는 문제를 좀 더 쉽게 해결할 수 있을 것이다. |
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