가우스 법칙이란 무엇일까? ‘가우스 법칙’이라고 하면, 가우스 기호, 즉, 어떤 수를 넘지 않는 최대의 정수를 떠올리는 사람도 있을 것이고, 1부터 100까지 더하는 가우스의 방법을 일반화시킨 식을 떠올리는 사람도 있을 것이다. 이 글에서는, ‘가우스 법칙’이라고 불리는 법칙들에 대해 정리해 보겠다.
먼저, 1부터 100까지 더하는 가우스의 방법을 일반화시킨 식에 대해 설명해 보겠다. 1부터 100까지의 수들의 합을 S라 하자. 가우스의 방법에 따르면, 2S=100*101이다. 이를 일반화시키면, 1부터 n까지의 수들의 합을 A라 할 때, 2A=n*(n+1)이다. 즉, A=n*(n+1)/2라는 식을 얻을 수 있다. 이를 더 일반화시키면, 등차수열(이웃한 두 수의 차가 일정한 수열)의 합을 계산하는 식을 얻을 수도 있다.
다음으로, 가우스 기호에 대해 설명해 보겠다. ‘[ ]’를 가우스 기호라고 하는데, [x]는 x를 넘지 않는 최대의 정수를 의미한다. 예를 들면, [3.5]=3이고, [-4.5]=-5이다. 가우스 기호를 이용하면, 여러 가지 문제들을 해결할 수 있으며, 가우스 기호로 해결할 수 있는 대표적인 문제에는, 100!의 끝에 연속으로 나타나는 0의 개수를 구하는 문제가 있다. 이제, 가우스 기호의 기하학적 의미에 대해 설명해 보겠다. 서로소인 두 자연수 p,q에 대해, 식 ([p/q]+[2p/q]+ - - - +[(q-1)p/q])의 값을 계산하는 방법을 생각해 보자. 가우스 기호의 여러 가지 성질들을 이용해 이 식의 값을 계산할 수도 있겠지만, 이 식의 값이, 좌표 평면 상에서 직선 y=(p/q)x, y=0, x=q로 둘러싸인 부분에 존재하는 격자점의 개수와 같다는 사실을 이용하면, 이 식의 값이 (p-1)(q-1)/2라는 것을 쉽게 알 수 있다. 즉, 가우스 기호는 좌표 평면 상에서 격자점의 개수를 세는 데에도 이용할 수 있다.
다음으로, 물리학에서 논의되는 가우스 법칙에 대해 설명해 보겠다. 물리학에서 가우스 법칙은 주로 전기장을 계산하기 위해 이용된다. 가우스 법칙을 설명하기 위해서는 먼저, ‘전기 다발’이라는 개념을 정의해야 한다. 식으로 쓰면, 전기 다발은 E dot dA로 계산된다.(dot은 스칼라곱을 의미한다.) 가우스 법칙은, 이 전기다발의 총합, 즉, integral(E dot dA)의 값이 q/epsilon_0의 값과 같다는 것이다.(integral은 적분 기호이고, epsilon_0는 진공에서의 유전율 값이다.) 가우스 법칙을 이용해, 임의의 전하 분포를 가진 도체 주변에서의 전기장을 계산하기는 어렵다. 전하 분포가 어떤 ‘대칭성’을 가지는 경우에만, 가우스 법칙을 이용해 전기장을 계산할 수 있다. 예를 들어, 가우스 법칙을 이용하면, 전하들이 구 모양으로 배열되어 있는 도체의 경우, 도체 내부의 어떤 점에서의 전기장의 크기는, 구의 중심에서 그 점까지의 거리에 비례하며, 도체 밖의 어떤 점에서의 전기장의 크기는, 구의 중심에서 그 점까지의 거리의 제곱에 반비례한다는 사실을 알 수 있다.
마지막으로, 르장드르 부호와 관련된 내용에서 논의되는 가우스 법칙에 대해 설명해 보겠다. 먼저, ‘합동’에 대해 설명해 보겠다. 어떤 세 수 m,a,b에 대해 a-b가 m의 배수일 때, 두 수 a와 b가 법 m에 대해 합동이라고 한다. 다음으로, ‘르장드르 부호’에 대해 설명해 보겠다. 서로 다른 두 홀수 소수 p,q에 대해, x^2이 법 q에 대해 p와 합동인 정수 x가 존재하면, 르장드르 부호 (p/q)=1로 정의하고, 존재하지 않으면, 르장드르 부호 (p/q)=-1로 정의한다.(이 때, 나누기 기호는 나눗셈 기호가 아니라, 르장드르 부호에 대한 표기법이다.) 이 때, 가우스의 이차상호 법칙이란, (p/q)(q/p)=(-1)^((p-1)(q-1)/4)라는 식이 성립한다는 것이다. 이 식은, 르장드르 부호의 값을 계산할 때 많이 이용되는 식이다. 예를 들면, 제곱해서, 59로 나눈 나머지가 13인 수의 존재성을 묻는 문제를 르장드르 부호를 이용해 해결할 수 있다. 이 문제는, 르장드르 부호 (13/59)의 값이 1인지 -1인지를 묻는 문제와 같으며, 가우스의 이차상호 법칙 등 이차잉여와 관련된 여러 가지 성질들을 이용하면, 르장드르 부호 (13/59)의 값을 계산할 수 있다.
지금까지, ‘가우스 법칙’이라고 불리는 법칙들에 대해 설명해 보았다. 이 법칙들은 이름만 같을 뿐, 내용은 전혀 비슷하지 않은 법칙들이다. 내용이 비슷하거나, 개념이 연결되어 있는 법칙들을 모아서 정리해 보는 것도 중요하지만, 많은 내용들을 학습한 후, 이름이 같은 법칙들만 따로 정리해 보는 것도, 학습 내용을 정리하는데 많은 도움이 될 것이다.
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