| 단진자 운동에 대한 분석 |
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 백도원 | 천안성정중학교 3학년 |
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진자 운동은 고정된 한 축이나 점의 주위를 일정한 주기로 진동하는 운동으로, 추에 줄을 매달아 줄을 고정하고, 추를 한쪽에서 잡았다가 놓았을 때 추가 일정한 기준을 중심으로 왔다갔다하며 움직이는 운동을 의미한다. 일반적으로는, 추가 진동하면서, 공기와의 마찰로 에너지를 잃기 때문에, 결국에는 멈추게 된다. 하지만, 이 글에서는, 공기와의 마찰을 무시하고, 추가 계속 일정한 진폭으로 운동하고 가정한 후, 이 경우의 진자 운동에 대해 분석해 보기로 하겠다.
공기와의 마찰을 무시한 경우, 진자 운동은 ‘단순조화진동’이다. ‘단순조화진동’은 두 가지 관점에서 생각할 수 있는데, 운동의 관점에서는, 원운동의 정사영이며, 힘의 관점에서는, 변위에 비례하며 진동의 중심을 향하는 복원력을 받는 운동이다. 어떤 운동이 원운동의 정사영, 또는 정사영의 일부라는 것을 보이는 것은 쉽지 않은 일이므로, 일반적으로는, 어떤 운동이 변위에 비례하며 진동의 중심을 향하는 복원력을 받는지 확인하여, 그 운동이 단순조화진동인지를 확인한다. 이제, 진자 운동, 특히, 진폭이 매우 작은 단진자 운동이 단순조화진동임을 설명해 보겠다. 진자 운동에서 추의 질량을 m, 중력가속도를 g라 하고, 처음에 실이 수직선과 이루는 각도를 a라 하자. 그러면, 중력의 실 방향 성분 mg(cos a)는 실에 걸리는 장력과 값이 같아, 상쇄되고, 실제로 받는 힘은 중력의 실과 수직한 방향의 성분인 mg(sin a)가 된다. 이 때, 진폭이 매우 작으므로, 실의 길이 l과, 변위 x에 대해, sin a=x/l가 되고, 따라서, 물체가 진동의 중심 방향으로 받는 힘의 크기가 mgx/l로, 변위에 비례하게 된다. 따라서, 단진자 운동이 단순조화진동인 것이다.
이제, 이 단진자 운동의 주기를 계산해 보겠다. 일반적으로, 단순 조화 진동은, 원운동의 정사영이므로, 변위를 진폭 A, 각속도 w, 시간 t에 대해, x=Asin wt로 쓸 수 있다. 변위를 미분하면 속도가 되고, 속도를 미분하면 가속도가 되므로, 이 때, 가속도 a=-(w^2)x가 된다. 이 때, 뉴턴의 운동 제2법칙에 의해, F=ma이므로, F=-m(w^2)x이다. 즉, 힘이 변위에 비례할 때의 비례 상수가 k=m(w^2)이다. 이 때, 주기 T에 대해 w=2pi/T(pi는 원주율과 같은 값으로, pi(rad)=180(도)이다.)이므로, 이것을 이용하면, 단순 조화 진동의 주기 T=2pi sqrt(m/k)이다.(이 때, sqrt는 루트이다.) 따라서, 단진자 운동에서, 물체가 받는 복원력의 크기는 mgx/l이므로, 비례 상수 k=mg/l이고, 따라서, 단진자 운동에서 주기 T=2pi sqrt(l/g)로 주어진다. 이는, 단진자 운동의 주기는, 실의 길이와, 중력가속도에 의해서만 결정된다는 것을 의미한다. 이 때, 지표면 근처에서는 중력가속도가 거의 일정하므로, 단진자 운동의 주기는, 실의 길이에 의해서만 결정된다고 할 수 있다. 이것이 바로 진자의 등시성이다.
이렇게 해서, 단진자의 운동을 분석해 보았다. 이 단진자의 운동은, 물체의 회전 운동을 고려하는 경우로도 확장시킬 수 있다. 이처럼, 어떤 운동을 스스로, 수학적으로 분석해보려는 노력을 하고, 어떤 주어진 결과를 확장시키면 어떻게 될지 생각해 보고 그것을 논리적으로 증명해 보려는 노력을 한다면, 논리적 사고력과, 수학/물리학 학습 능력을 더욱 키울 수 있을 것이다. |
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