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| 문자를 사용한 수학적 학문, 대수학 |
 백도원 | 천안성정중학교 2학년 |
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‘대수학’은 문자를 사용한 수학적 학문의 하나이다. ‘대수학’에 대해 공부해 볼 기회가 있었는데, ‘대수학’에서는 일반적으로 많이 사용하는 사칙연산과 제곱근, 가우스 기호 등의 연산을 다루는 것이 아니라, 일반적인 이항연산을 다루고 있어, 약간 어려운 부분이 있었다. 특히, 덧셈/곱셈에서 자유롭게 사용할 수 있는 교환법칙/결합법칙을 대수학에서는 자유롭게 사용할 수 없다는 점에서, 약간 어려운 부분이 있었다. 그러나, 대수적 구조를 이용해, 작도 가능성, 차수가 5차 이상인 방정식의 근의 공식 존재 유무 등을 증명할 수 있다는 것을 학습하면서, 기회가 되면 꼭 대수학을 다시 한 번 학습해 보아야겠다는 생각을 하였다. ‘갈루아가 들려주는 군 이야기’를 통해 대수학의 일부 내용을, 다시 한 번 점검해 보고, 또 그 내용을 확실히 이해할 수 있었다.
먼저, 군과 부분군의 정의를 확실하게 정리해 볼 수 있었다. 어떤 집합과 어떤 이항연산이 주어졌을 때, 그 이항연산에 대해 집합이 닫혀 있고, 결합법칙이 성립하며, 임의의 원소에 대한 항등원과 역원이 존재하면, 그 집합을 ‘군’이라고 하며, 어떤 군의 부분집합이 있어, 그 부분집합의 원소들만으로도 ‘군’이 되기 위한 조건들이 만족되면, 그 부분집합을 원래 군의 부분군이라고 한다. 또한, 준동형사상과 동형사상의 ‘수학적 의미’와 ‘정의’에 대해 알 수 있었다. 준동형사상은, 대수적 구조를 보존하는 함수이며, 어떤 원소를 G에서 H로 보내는 함수 f에 대해 f(ab)=f(a)f(b)이면, 이 함수 f를 준동형사상이라고 한다. 동형사상은, 일대일대응이 이뤄지는 준동형사상으로, 어떤 두 대상 사이에 동형사상이 있을 경우, 두 대상의 성질이 구조적으로 동일하다는 것을 의미한다. 특히, 평소 ‘대수학’을 학습할 때에는, 준동형사상과 동형사상을 수학적 정의로만 학습하여, 이 개념을 다른 문제 풀이에 적용하기가 어려웠는데, 이 책을 통해 준동형사상과 동형사상의 ‘수학적 의미’를 알게 되어, 대수학 문제를 다시 풀어보게 된다면, 문제 풀이에 이 개념을 좀 더 쉽게 적용할 수 있을 것이라는 생각이 들었다.
이 책을 읽으며, 군, 부분군, 준동형사상, 동형사상의 개념을 확실하게 정리해 볼 수 있었으며, 수학은 매우 논리적인 학문이라는 생각을 다시 한 번 하게 되었다. 또한, 앞으로 새로운 수학적 개념을 학습할 때, 처음부터 수학적 정의를 읽고 암기하면서 학습을 시작하는 것도 좋지만, 정의를 암기하기에 앞서, 새로운 수학적 개념의 수학적 의미를 생각해 보는 것이, 그 개념을 문제에 활용하는 능력을 키우는 데 많은 도움이 될 것이라는 생각이 들었다. 물론, 수학에서는 명확한 것이 중요하기 때문에, 명확한 정의가 중요하지만, 어떤 수학적 개념이든지 문제 해결에 이용하는 것 등 이유가 있어서 만들어진 것이기 때문에, 그 수학적 개념이 만들어진 이유, 또는 그 수학적 개념의 의미를 먼저 생각해 보고, 수학적 정의를 암기한다면, 그 개념을 좀 더 쉽게 문제에 적용할 수 있을 것이라는 생각이 들었다.
이 책을 읽으며, 군, 부분군, 준동형사상, 동형사상 등 대수학의 가장 기본적인 개념들을 확실하게 정리해 볼 수 있었다. 또한, 기회가 된다면, 대수학과 관련된 책을 더 읽으면서 대수학에 대한 이해도를 더 높일 것이며, ‘대수학’을 다시 학습해봄으로써 논리적 사고 능력을 키우고, 이를 바탕으로, 작도 가능성 문제, 차수가 5차 이상인 방정식의 근의 공식의 존재 유무 문제의 풀이를 확실하게 이해할 수 있도록 노력할 것이다. |
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