| '오일러 정리'에 대하여 |
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 백도원 | 충남과학고등학교 2학년 |
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‘오일러 정리’는 무엇일까? 많은 사람들은 오일러를 수학자로 알고 있으며, 그래서 대부분 수학 관련 정리들을 떠올리게 될 것이다. 물론, ‘오일러 정리’가 수학과 관련된 정리인 것은 맞다. 하지만, ‘오일러 정리’라는 말은 여러 가지 정리를 지칭한다고 볼 수 있다. 이 글에서는 오일러 정리라고 불려지는 다양한 정리들에 대해 논의해 보겠다.
먼저, 정수론에서 오일러의 정리가 있다. 예를 들어, 5의 10제곱을 18로 나눈 나머지는 얼마일까? 이를 설명하기 위해서는 오일러 파이 함수의 개념이 필요하다. 어떤 자연수 n에 대해, pi(n)의 값은 n 이하의 n과 서로소인 자연수의 개수로 정의된다. 실제로 계산을 해 보면, pi(n)의 값을 계산하는 공식을 얻을 수 있다. n의 모든 소인수를 p1, p2, ---, pk라 할 대, pi(n)의 값은 n*(1-(1/p1))*(1-(1/p2))* -- (1-(1/pk))로 계산할 수 있다. 또한, 오일러 파이 함수는 임의의 서로소인 두 자연수 m, n에 대해 pi(m*n)=pi(m)*pi(n)이 성립한다는 성질을 갖는다.(참고로, 이러한 성질을 갖는 함수를 곱산술함수라고 한다.) 이 때, 오일러 정리는 서로소인 두 자연수 a, n에 대해 a의 pi(n)제곱을 n으로 나눈 나머지는 1이라는 것이다. 앞에서 논의한 예에서, pi(18)=6이므로, 5의 6제곱을 18로 나눈 나머지는 1이며, 따라서 5의 10제곱을 18로 나눈 나머지는 5의 4제곱을 18로 나눈 나머지와 같으며, 그 값은 13이다.
둘째, 오일러의 공식이 있다. 오일러의 공식은 exp(i*x)=(cos x) + i*(sin x)라는 것이다.(이 때, i는 허수 단위이다. 보통 지수에 대해 학습할 때, 우리는 실수 지수에 대해서만 학습한다. 하지만, 이 공식을 이용하면 복소수 지수에 대해서도 정의할 수 있다.) 우선, 오일러 공식이 성립하는 이유는 무엇일까? 이는 다양한 방법으로 증명할 수 있다. 이를 증명할 수 있는 방법은 함수 f(x) = (cos x)+i*(sin x)에 대해, f‘(x)=i*f(x)이므로, 이 미분방정식을 풀어 f(x)=exp(ix)임을 증명할 수 있다. (이는 변수분리법을 이용해 간단하게 풀 수 있는 미분방정식이다.) 특히, 이 식에 x=pi를 대입하면, exp(i*pi)+1=0이라는 공식을 얻을 수 있다. 이 식은 물리학에서도 많이 활용되는데, 이것은 이 식을 통해 삼각함수로 표현된 식을 지수함수를 이용해 표현한 후 얻어진 해의 실수부나 허수부만을 취하는 과정에서 어떤 방정식의 해를 구할 수 있기 때문이다. 방정식의 해를 구하는 상황 외에도 이 식을 잘 활용하면 다양한 상황들을 분석하는데 도움이 된다.
마지막으로, 오일러 그래프가 있다. 우선, 연결된 그래프에서 모든 변을 한 번씩 지나는 경로를 오일러 경로, 오일러 경로 중 시점과 종점이 동일한 경로를 오일러 회로라 하며, 오일러 회로를 포함한 그래프를 오일러 그래프라 한다. 어떤 그래프가 오일러 그래프인지 판단하려면, 그 그래프의 홀수점과 짝수점의 개수를 세면 된다. 이 때, 그래프의 홀수점의 개수가 2개 또는 0개이면, 이 그래프는 오일러 그래프이며, 홀수점의 개수가 4개 이상이면, 이 그래프는 오일러 그래프가 아니다.(이 때, 그래프에서 모든 꼭짓점의 차수의 합은 짝수이므로 홀수점의 개수는 반드시 짝수 개다.) 참고로, 그래프와 관련된 문제를 해결할 때 오일러 그래프와 해밀턴 그래프를 잘 구분하는 것이 중요하다. 오일러 경로는 모든 변을 한 번씩 지나는 경로이지만, 해밀턴 그래프는 모든 꼭짓점을 한 번씩 지나는 경로이다.
지금까지 ‘오일러 정리’라고 불려지는 다양한 정리들에 대해 논의해 보았다. 이 정리들의 내용을 충분히 이해하고, 어떤 문제 상황을 해결할 때 복합적으로 적용시켜 활용한다면, 해당 문제 상황을 보다 쉽게 분석할 수 있을 것이다. |
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